Không gian tích trong là không gian vectơ định chuẩn với chuẩn (norm) được định nghĩa bởi[4]

‖ x ‖ = ⟨ x , x ⟩ . {\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}

Vì với mọi không gian vectơ định chuẩn, không gian tích vô hướng là không gian metric với khoảng cách được định nghĩa bởi

d ( x , y ) = ‖ y − x ‖ . {\displaystyle d(x,y)=\|y-x\|.}

Các tiên đề của tích trong đảm bảo rằng ánh xạ trên tạo ra một chuẩn, có các tính chất sau.

Tính thuần nhấtĐối với một vectơ x thuộc V và một vô hướng r ta có ‖ r x ‖ = | r | ‖ x ‖ . {\displaystyle \|rx\|=|r|\,\|x\|.} Bất đẳng thức tam giácCho các vectơ x {\displaystyle x} và y {\displaystyle y} thuộc V ‖ x + y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖ . {\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.} Hai tính chất trên cho thấy ta đã có một chuẩn.Bất đẳng thức Cauchy–SchwarzCho x, y là các phần tử của V | ⟨ x , y ⟩ | ≤ ‖ x ‖ ‖ y ‖ {\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\,\|y\|} với đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x và y phụ thuộc tuyến tính. Trong các tài liệu toán tiếng Nga, bất đẳng thức này còn được gọi là bất đẳng thức Cauchy–Bunyakovsky hay bất đẳng thức Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz.Công thức phân cựcTích trong có thể được rút ra từ chuẩn bởi công thức phân cực ‖ x + y ‖ 2 = ‖ x ‖ 2 + ‖ y ‖ 2 + 2 Re ⁡ ⟨ x , y ⟩ , {\displaystyle \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle x,y\rangle ,} đây là một dạng của định lý cosin.Trực giaoHai vectơ là trực giao khi tích trong của chúng bằng 0.
Trong trường hợp không gian vectơ Euclid, là các không gian tích trong hữu hạn chiều trên trường số thực, tích vô hướng cho phép định nghĩa góc (không có chiều) của hai vectơ khác vectơ không bởi ∠ ( x , y ) = arccos ⁡ ⟨ x , y ⟩ ‖ x ‖ ‖ y ‖ , {\displaystyle \angle (x,y)=\arccos {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\,\|y\|}},}

và

0 ≤ ∠ ( x , y ) ≤ π . {\displaystyle 0\leq \angle (x,y)\leq \pi .} Định lý PythagorasKhi x, y thuộc V và ⟨x, y⟩ = 0, ta có ‖ x ‖ 2 + ‖ y ‖ 2 = ‖ x + y ‖ 2 . {\displaystyle \|x\|^{2}+\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}.}

Chứng minh đẳng thức này yêu cầu chỉ cần biểu diễn định nghĩa chuẩn theo tích trong và thực hiện nhân, sử dụng tính cộng cho từng thành phần.

Tên gọi Định lý Pythagoras bắt nguồn từ cách diễn giải trong hình học Euclid.Đẳng thức ParsevalSử dụng quy nạp với định lý Pythagoras ta có: nếu x1, …, xn là các vectơ trực giao, tức là ⟨xj, xk⟩ = 0 với các chỉ số phân biệt j, k, thì ∑ i = 1 n ‖ x i ‖ 2 = ‖ ∑ i = 1 n x i ‖ 2 . {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{2}=\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right\|^{2}.} Quy tắc hình bình hànhCho các phần tử x, y thuộc V, ta có ‖ x + y ‖ 2 + ‖ x − y ‖ 2 = 2 ‖ x ‖ 2 + 2 ‖ y ‖ 2 . {\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}.} Quy tắc hình bình hành thực chất là một điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại một tích trong ứng với một chuẩn cho trước.Bất đẳng thức PtolemyCho các phần tử x, y, z thuộc V, ta có ‖ x − y ‖ ‖ z ‖ + ‖ y − z ‖ ‖ x ‖ ≥ ‖ x − z ‖ ‖ y ‖ . {\displaystyle \|x-y\|\|z\|+\|y-z\|\|x\|\geq \|x-z\|\|y\|.} Bất đẳng thức Ptolemy thực chất cũng là một điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại một tích trong tương ứng với một chuẩn cho trước. Cụ thể, Isaac Jacob Schoenberg đã chứng minh vào năm 1952 rằng, cho một không gian thực xác định nửa chuẩn bất kỳ, nếu nửa chuẩn của nó thỏa mãn bất đẳng thức Plotemy thì nửa chuẩn đó chính là chuẩn liên kết với một tích trong.[13]